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Thales y la propocionalidad
El arte de las matemáticas
domingo, 20 de marzo de 2011
martes, 8 de marzo de 2011
Trigonometria básica ( 4to año)
Hola, bienvenidos a esta primera clase de su nuevo curso. Este es el primer tema del año. Este material les servirá de guia para resolver el trabajo práctico Nro1 cuyas consignas fueron recibidas en clase. Suerte¡¡.Cualquier duda la conversamos luego.
CONCEPTO DE TRIGONOMETRIA
La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos". Se deriva del vocablo griego τριγωνο <trigōno> "triángulo" + μετρον <metron> "medida".
En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
Definiciones respecto de un triángulo rectángulo
Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:
- La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
- El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo que queremos determinar.
- El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo del que queremos determinar.
1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:
El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo α , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.
2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:
3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:
4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:
5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:
6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:
Sigue este ejemplo para entender un poco mas:
Teoremas del seno y del coseno
TEOREMA DEL SENO
TEOREMA DEL COSENO
domingo, 20 de febrero de 2011
RAZONES Y PROPORCIONES
¿Qué es la razón en geometría?
La razón como concepto geométrico viene definido así: Razón de dos números es el cociente indicado del primero entre el segundo
La proporción es la igualdad de dos razones. Una proporción tiene por tanto cuatro términos ordenados:
Dos razones son iguales cuando el producto de medios es igual producto de extremos.
Propiedades de las proporciones.
La razón como concepto geométrico viene definido así: Razón de dos números es el cociente indicado del primero entre el segundo
- Es importante el orden en que se dicen o escriben los términos.
- Se indica en forma de fracción.
- Los dos números se llaman términos de la razón.
- El primer termino se llama antecedente y el segundo termino consecuente.
La proporción es la igualdad de dos razones. Una proporción tiene por tanto cuatro términos ordenados:
- Los cuatro números se llaman términos de la proporción
- El primero y el ultimo se llama extremos y el segundo y el tercero se llaman medios.
Dos razones son iguales cuando el producto de medios es igual producto de extremos.
Propiedades de las proporciones.
- La suma de los antecedentes dividida entre la suma de consecuentes e igual a la razón de proporcionalidad.
- En toda proporción la suma o resta de los dos primeros términos es al primero como la suma o resta de los dos últimos términos es al tercero.
lunes, 7 de febrero de 2011
THALES Y LA PROPORCIONALIDAD
SEMEJANZA DE TRIANGULOS
En esta sección se analizará el concepto de semejanza de triángulos, con el fin de poder comprender su significado y aplicarlo en la solución de problemas. Antes de profundizar dicho concepto, se interiorizará solamente el concepto de semejanza. Para lo que se quiere realizar, es necesario el conocimiento de lo que son lados correspondientes y lo que es proporcionalidad, para ello considere la figura que se muestra abajo en la que los lados correspondientes son respecticamente: c y c' (lado grande y lado grande) a y a' (lado pequeño y lado pequeño) b y b' (lado mediano y lado mediano) Observe que al realizar la división entre los lados homólogos (correspondientes) el resultado que se obtiene es 2 (dividiendo 10 entre 5, 8 entre 4 y 6 entre 3), este valor recibe el nombre de razón y cuando la razón es igual en todos y cada uno de los lados correspondientes, se dice que los lados son proporcionales. El concepto de semejanza en la vida cotidiana Cuando se utiliza el término de semejanza en el lenguaje cotidiano, ¿a qué nos estamos refiriendo? Será acaso:
Es difícil poder seleccionar una opción que responda correctamente a la pregunta planteada, ya que de acuerdo al contexto de la conversación, el significado y utilización de la palabra semejanza, podría hacer referencia a objetos que se parecen en tamaño, forma o exactamente iguales, entre otros. Por ejemplo:
Se podría seguir enunciando ejemplos, que ayuden a comprender el concepto de semejanza. Note que en los ejemplos mencionados, el significado de semejanza hace referencia a una característica común entre los objetos o personas, tales como: color, tamaño y forma, entre otros. Resumiendo: el uso del concepto de semejanza en el lenguaje cotidiano se refiera al "parecido", en una o más características, que existe entre dos personas u objetos. El concepto de semejanza en matemática El concepto de semejanza en matemática está muy ligado al concepto de proporcionalidad. En esta ciencia se dice que dos objetos son semejantes si "guardan" una proporción entre ellos. Veamos algunos ejemplos de la relación existente entre semejanza y proporcionalidad.
El último ejemplo refleja que siempre, dos objetos que son del mismo tamaño y forma se pueden catalogar como semejantes. Se debe tener cuidado con la afirmación inversa, es decir, objetos de diferente tamaño no son siempre semejantes, todo depende de que guarden o no la misma proporción, tal es el caso de los ejemplos uno, dos y tres. En otras palabras, para que dos objetos sean semejantes bajo la concepción matemática, no siempre tienen que ser iguales. Resumiendo: dos figuras son semejantes si guardan una proporción entre cada una de sus partes respectivas. Semejanza de triángulos Ya se ha estudiado el concepto de semejanza, tanto en lenguaje cotidiano como en leguaje matemático. Se aplicarán ambas definiciones para establecer el concepto de semejanza de triángulos. Se podría afirmar, con lo que ya se conoce, que dos triángulos son semejantes si poseen una misma forma y sus partes guardan una proporción. Veamos un ejemplo: | |||
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miércoles, 12 de enero de 2011
VECTORES Y SUS OPERACIONES
Definición de vector
Un vector fijo es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo)
Módulo del vector
Es la longitud del segmento AB, se representa por .
Dirección del vector
Es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.
Sentido del vector
El que va del origen A al extremo B.
Dos puntos A y B determinan dos vectores fijos y , con sentido distinto, que se llaman vectores opuestos.
Un vector fijo es nulo cuando el origen y su extremo coinciden.
SUMA DE VECTORES
Para sumar dos vectores libres y se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.
Regla del paralelogramo
Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.
Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.
Resta de vectores
Para restar dos vectores libres y se suma con el opuesto de .
Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.
Producto de un número por un vector
El producto de un número k por un vector es otro vector:
De igual dirección que el vector .
Del mismo sentido que el vector si k es positivo.
De sentido contrario del vector si k es negativo.
De módulo
Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.
Sistema de referencia
En el plano, un sistema de referencia está constituido por un punto O del plano y una base ( , ).
El punto O del sistema de referencia se llama origen.
Los vectores , no paralelos forman la base.
Ortogonal
Los vectores base son perpendiculares, pero de distinto módulo.
Ortonormal
Los vectores de la base son perpendiculares, iguales y unitarios, es decir, de módulo 1.
Se representan por las letras .
Producto escalar
El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.
Expresión analítica del producto escalar
Expresión analítica del módulo de un vector
Expresión analítica del ángulo de dos vectores
Condición analítica de la ortogonalidad de dos vectores
Proyección
El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
Propiedades del producto escalar
1Conmutativa
2 Asociativa
3 Distributiva
4
El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.
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